第十九届同济大学程序设计竞赛 D两串糖果 【区间dp】

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D 两串糖果

区间DP

D两串糖果

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分析：
  很容易想到一个暴力的dp。
  定义dp[i],表示讲区间[1,i]处理完后的最大值。
  转移方程很容易想到dp[i] = max(dp[i],dp[i - j] + sum[i - j + 1][i])
  sum[i][j]表示操作区间[l,r]后的贡献。
  很明显需要与处理出sum[i][j],这样转移的复杂度是$O(n^2)$
  接下来考虑预处理sum[i][j]
  暴力预处理是$O(n^3)$的，我们考虑区间dp，sum[i][j] = sum[i+1][j-1] + ar[i]*br[j] + ar[j]*br[i]
  这样就可以$O(n^2)$预处理，算法总体复杂度$O(n^2)$
  另外，尤其需要注意，区间dp应当先枚举区间长度。
AC代码：

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
#define int ll
#define io ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define endl '\n'
#define itt set<node>::iterator

const int maxn = 5e3 + 5;
const ll mod = 1e9 + 7;
const ll inf = 0x3f3f3f3f;
int ar[maxn], br[maxn];
int dp[maxn], sum[maxn][maxn];
int n;

signed main()
{
    io;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> ar[i];
    for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> br[i];

    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        sum[i][i] = ar[i] * br[i];
        if(i != n) sum[i][i + 1] = ar[i] * br[i + 1] + ar[i + 1] * br[i];
    }

    int r;
    for(int i = 3; i <= n; ++i)
    {
        for(int l = 1; l <= n; ++l)
        {
            r = l + i - 1;
            if(r > n) break;
            sum[l][r] = sum[l + 1][r - 1] + ar[l] * br[r] + ar[r] * br[l];
        }
    }

    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= i; ++j)
        {
            dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] + sum[i - j + 1][i]);
        }
    }

    cout << dp[n] << '\n';

    return 0;
}