leetcode 第133场双周赛 100333.统计逆序对的数目

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leetcode 第133场双周赛 100333.统计逆序对的数目

计数问题：DP+滚动数组优化+前缀和优化

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分析：
  先考虑如下问题。

  求长度为n，逆序对为m的排列数量。

  可以考虑dp，dp[i][j]定义为长度为i，逆序对为j的排列数量。

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dp[1][0] = 1;
//枚举排列长度，或者认为枚举当前需要插到长度为i-1的排列中的数字
for(int i = 1; i <= n; ++i)  
{
    for(int j = 0; j <= i * (i + 1) / 2; ++j)
    {
        //枚举当前数字插到的位置，一共i个位置，分别可能使逆序对增加0~i-1个
        for(int k = 0; k < i; ++k)
        {
            if(j >= k)
            {
                dp[i][j] += dp[i - 1][j - k];
            }
        }
    }
}

  在懂了上述dp之后，再来考虑本题。主要有两个问题。

  • 另外考虑，如果dp[i][j]是否依旧可以这样求，因为上述问题中对于长度为i的排列，前i-1个数字确定的，i一定是最大的，我们只需要考虑它放在哪个位置即可。
  • 如何同时满足requirements[i][endi] = cnti和requirements[j][endj] = cntj,其中i!=j。

  对于第一点，肯定是可以这样求的，一方面我们不需要关心前i-1个数字是什么，只需要认为我们枚举的第i个数字是这i个数字中最大的（类似上述思路）或者是最小的（与最大的等效并且更加方便理解上述dp的最内层循环）即可，另一方面我们看到至少有一个i满足endi == n - 1。

  对于第二点，我们只需要在dp的过程中适当修改。若$\exists end_j == i$,则正常求$dp[i][cnt_j]$的值，而$dp[i][k]=0,k\ne cnt_j$。

AC代码

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class Solution {
public:
    int numberOfPermutations(int n, vector<vector<int>>& requirements) {
        
        const int mod = 1e9 + 7;
        
        vector<int> vt(305, -1);
        for(auto x: requirements) vt[x[0] + 1] = x[1];

        vector<vector<int>> dp(305, vector<int>(405, 0));
        dp[0][0] = 1;

        for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        {
            if (vt[i] != -1) 
            {
                int j = vt[i];
                for (int k = 0; k < i; ++k) if (j >= k) dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - k]) % mod;
                continue;
            }
            for (int j = 0; j <= min(400, (1 + i) * i / 2); ++j) 
            {
                for (int k = 0; k < i; ++k) 
                {
                    if (j >= k) dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - k]) % mod;
                }
            }
        }
        
        return dp[n][vt[n]];
    }
};
//dp数组定义为vector，如果定义为数组，一定记得先memset 0
//(dp[i][j] += dp[i - 1][j - k]) % mod不等价于dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - k]) % mod;
//(dp[i][j] += dp[i - 1][j - k]) % mod，模完之后值未赋给任何数。

  上述代码已经可以AC，但是可以进一步优化。

  • dp[i][j]的递推过程中，只用到了dp[i-1][j-k],故可以通过滚动数组优化空间。
  • 对于最内层枚举k的循环，我们发现递推公式等价于$dp[i][j] = \sum_{k=j-(i-1)}^{j} dp[i-1][k]$，即是dp[i-1]数组的一个前缀和，故可以预处理出前缀和，使得dp[i][j]实现O(1)递推，优化为两层循环。

优化后的代码：

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class Solution {
public:
    int numberOfPermutations(int n, vector<vector<int>>& requirements) {
        
        const int mod = 1e9 + 7;
        
        vector<int> vt(305, -1);
        for(auto x: requirements) vt[x[0] + 1] = x[1];

        vector<int> dp(405, 0);
        vector<int> sum(405, 0);
        dp[0] = 1;

        for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        {
            sum[0] = dp[0];
            for(int j = 1; j <= min(400, (1 + i) * i / 2); ++j) sum[j] = (sum[j - 1] + dp[j]) % mod;
            if (vt[i] != -1) 
            {
                for(int j = 0; j <= min(400, (1 + i) * i / 2); ++j) dp[j] = 0;
                int j = vt[i];
                if(j < i) dp[j] = sum[j];
                else dp[j] = (sum[j] - sum[j - i] + mod) % mod;
                continue;
            }
            for (int j = 0; j <= min(400, (1 + i) * i / 2); ++j) 
            {
                if(j < i) dp[j] = sum[j];
                else dp[j] = (sum[j] - sum[j - i] + mod) % mod;
            }
        }
        
        return dp[vt[n]];
    }
};